Определители и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной) , если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени .
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной ), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)
где индексы q 1 , q 2 ,...,q n составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1) q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем
n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ
или detA = 
(детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a i j = b j + c j (j = 1,...,n), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j , в другом - из элементов c j .
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором M i j элемента a i j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента a i j определителя d называется его минор M i j , взятый со знаком (-1) i + j . Алгебраическое дополнение элемента a i j будем обозначать A i j . Таким образом, A i j = (-1) i + j M i j .
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = 1,...,n)
или j- го столбца
d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =1,...,n).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Формула вычисления определителя третьего порядка.
Для облегчения запоминания этой формулы:
Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.
Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю..
Решение.
Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: 
, равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ
Пусть имеем
определитель третьего порядка: 
.
Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij .
Например
, минором M 12
, соответствующим элементу a 12
, будет определитель 
, который получается вычёркиванием из данного определителя
1-ой строки и 2-го столбца.
Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a 12 , берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что
| . | (1) |
Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.
Введём ещё одно понятие.
Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор M ij , умноженный на (–1) i+j .
Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij .
Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A ij = (–1) i+j M ij .
Например,
Пример. Дан определитель . Найти A 13 , A 21 , A 32 .
Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:
Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.
Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:
Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.
 .
| (2) |
Отсюда 
т.к. определители
второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a 21 , a 22 , a 23
. Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой
строки.
Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.
Примеры.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .
Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)
СЕМИНАР 6
Вычисление определителей матриц, свойства определителей.
Вводная информация
Определитель матрицы.
Понятие определителя
матрицы, который обозначается через
или
,
имеет смысл только для квадратных
матриц. Введем это понятие последовательно,
увеличивая размерность матриц.
Пример.
.
Пример.
Определитель n -го порядка.
Определение.
Минором
элемента
-матрицы
называется определитель
-го
порядка, соответствующий той матрице,
которая получается из матрицы
после вычеркивания в ней
-ой
строки и
-го
столбца. Минор элемента
будем обозначать
.
Пример.
Пусть
,
тогда
.
Определение.
Алгебраическим
дополнением элемента
называется
произведение
на минор
и обозначается
,
т.е.
.
Пример.
Пусть
,
тогда
.
Определение.
Определителем
-го
порядка (или определителем матрицы
)
называется число
,
равное
.
Формула
называется разложением определителя
по
-ой
строке.
Пример.
Разложим определитель
по второй
строке и вычислим его.
.
Формула разложения
определителя матрицы по
-ому
столбцу имеет вид
.
Пример.
Разложим
определитель
по третьему
столбцу и вычислим его.
.
Свойства определителей .
Перечислим основные свойства определителей.
Пример.
.
8. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
9. Если элементы двух строк (столбцов) определителя с учетом их порядка пропорциональны друг другу, то определитель равен нулю.
10. Если к элементам
некоторой строки (столбца) определителя
прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца), умноженные на
произвольное число
,
то величина определителя не изменится.
11. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Вычисление определителя методом разложения его по строке (столбцу) особенно эффективно, когда в этой строке (столбце) имеются нулевые элементы. Поэтому при вычислении определителей большой размерности целесообразно предварительно, используя перечисленные свойства определителей, сформировать такие строки (столбцы).
Пример.
/
прибавим
третий столбец ко второму столбцу/
/
вычтем
четвертую строку из третьей строки/
/
разложим
определитель по второму столбцу/
/вычтем вторую строку из первой строки/
/прибавим третий столбец ко второму
столбцу/
/разложим определитель по первой строке/
/ умножим первую строку на 2 и вычтем ее
из второй строки/
/разложим
определитель по первому столбцу/
.
Метод Гаусса .
В численных методах при вычислении определителей применяют метод Гаусса , основанный на приведении определителя с помощью указанных выше преобразований к треугольному виду.
Пример.
Вычислим методом Гаусса тот же
определитель, что и в предыдущем примере.
/
вычитая
первую строку из второй, третьей и
четвертой, делаем нулевыми элементы в
них, стоящие в первом столбце (перед
вычитанием из третьей строки умножим
первую строку на 3)/
/
поменяем
местами третью и четвертую строку/
/
умножим
вторую строчку на
и вычтем ее
из четвертой строки/
/ вычтем
третью строку из четвертой/
/используя
свойства треугольной матрицы, вычисляем
определитель/
.
Метод рекуррентных соотношений .
Если матрица, определитель которой мы вычисляем, имеет достаточную симметрию, можно использовать метод рекуррентных соотношений .
Пример.
Вычислим
методом рекуррентных соотношений
определитель
-го
порядка
.
Разложим его по последнему столбцу.
/
разложим
теперь определитель во втором слагаемом
по последней строке/
.
Замечаем, что мы теперь имеем три
определителя одинаковой структуры, но
разной размерности. Если мы обозначим
первоначальный определитель
-го
порядка через
,
то можно написать рекуррентное соотношение
.
Чтобы воспользоваться этим соотношением,
вычислим несколько первых определителей:
.
Заметим, что
.
Следовательно, можно записать
и т. д. Вычисление первых определителей
дает общую формулу
.
Чтобы завершить доказательство, проверим
справедливость этой формулы методом
математической индукции. Предполагая,
что эта формула верна для определителя
-го
порядка, мы должны показать, что
определитель
-го
порядка равен
.
Находим, используя рекуррентное
соотношение,
.
Полученное выражение доказывает
справедливость формулы
.
ЗАДАЧИ
1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.
Вычислить определитель второго порядка.
6.1.
.
6.2.
.
6.3.
.
6.4.
.
6.5.
.
6.6.
.
6.7.
.
6.8.
.
6.9.
.
6.10.
.
Решить уравнения.
6.11.
.
6.12.
.
6.13.
.
6.14.
.
6.15.
.
6.16.
.
Вычислить определители.
6.17.
.
6.18.
.
6.19.
.
6.20.
.
6.21.
.
6.22.
.
6.23.
.
6.24.
.
6.25.
.
6.26.
.
Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу.
6.27.
.
6.28.
.
6.29.
.
6.30.
.
6.31.
.
Решить уравнения и неравенство.
6.32.
.
6.33.
.
6.34.
.
Вычислить определители.
6.35.
.
6.36.
.
6.37.
.
6.38.
.
6.39.
.
6.40.
.
2. Задачи повышенного уровня сложности.
Вычислить определители.
6.41.
.
6.42.
.
6.43.
.
6.44.
.
Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.
6.45.
.
6.46.
.
6.47.
.
6.48. Не вычисляя определителей, показать, что они делятся на :
а)
;
б)
.
Вычислить, используя свойства определителей.
6.49.
.
6.50.
.
Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу
Например,
Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка
.
Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу
В целях запоминания сочетания слагаемых, входящих в выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.
Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.
Пример:
Основные свойства определителей матрицы
1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.
2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.
3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.
4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.
Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.
Если все миноры порядка выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.
Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.
Таким образом
,
где соответствующий минор порядка.
Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.
Пример: .
При вычислении данного определителя, воспользовались приемом разложения его по элементам первого столбца. Как видно из приведенной формулы нет необходимости вычислять последний из определителей второго порядка, т.к. он умножается на ноль.
Вычисление обратной матрицы
При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.
Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо
Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .
Классический алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .
2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.
3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.
4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .
